小學(xué)下樓梯數(shù)學(xué)題的趣味解法（附實(shí)例解析）

場景再現(xiàn)： 小明面對這樣一道題：“有10級臺階，每次可以走1級或2級，從底部走到頂部共有多少種不同的走法？”他站在樓梯口，小腦袋里充滿了問號，這類“下樓梯”（或走臺階）問題，在小學(xué)中高年級數(shù)學(xué)中很常見，它巧妙地將生活場景與數(shù)學(xué)思維結(jié)合，是鍛煉孩子有序思考和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的絕佳題型。

常見題型與核心思路變化多樣，但核心是找出符合規(guī)則的“走法”總數(shù)，關(guān)鍵在于步驟分解和規(guī)律尋找：

1. 單雙數(shù)臺階問題：

   • 題目特征： 規(guī)定每次只能走1級或2級。
   • 解題鑰匙： 從小規(guī)模開始，尋找遞推規(guī)律！
   • 實(shí)例解析： 還是以“10級臺階，每次走1或2級”為例。
     • 第1級： 只有1種走法（走1步）。
     • 第2級： 可以一次走2步（1種），或者分兩次各走1步（1種），共2種。
     • 第3級： 怎么走上來？
       • 從第1級跨2步上來（第1級有1種走法）。
       • 從第2級跨1步上來（第2級有2種走法）。
       • 第3級走法 = 第1級走法 + 第2級走法 = 1 + 2 = 3種。
     • 第4級：
       • 從第2級跨2步上來（第2級有2種走法）。
       • 從第3級跨1步上來（第3級有3種走法）。
       • 第4級走法 = 第2級走法 + 第3級走法 = 2 + 3 = 5種。
     • 發(fā)現(xiàn)規(guī)律： 當(dāng)前臺階的走法數(shù) = 前一級臺階走法數(shù) + 前兩級臺階走法數(shù)（斐波那契數(shù)列?。?。
     • 列出表格：| 臺階級數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 || :--------: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :----: || 走法種數(shù) | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 |
     • 10級臺階共有 89 種不同走法。

2. 不同步長限制問題：

   

   • 題目特征： 每次可走的步長不止1或2，可能限制為1、3、5級等。
   • 解題鑰匙： 同樣使用遞推思想，但要考慮所有允許的“上一步”來源。
   • 實(shí)例解析： “有8級臺階，每次可以走1級、3級或5級，共有多少種走法？”
     • 起點(diǎn)： 0級臺階（地面），只有1種“走法”——不動（或看作起點(diǎn)）。
     • 第1級： 只能從0級走1步上來，走法 = 1 (來自0級)。
     • 第2級： 只能從第1級走1步上來（因?yàn)樽钚〔介L是1，但1+1=2），走法 = 第1級走法 = 1。
     • 第3級：
       • 從0級直接走3步上來（1種）。
       • 從第2級走1步上來（第2級有1種走法）。
       • 走法 = (來自0級) + (來自第2級) = 1 + 1 = 2。
     • 第4級：
       • 從第1級走3步上來（第1級有1種）。
       • 從第3級走1步上來（第3級有2種）。
       • 走法 = (來自第1級) + (來自第3級) = 1 + 2 = 3。
     • 第5級：
       • 從0級直接走5步上來（1種）。
       • 從第2級走3步上來（第2級有1種）。
       • 從第4級走1步上來（第4級有3種）。
       • 走法 = (來自0級) + (來自第2級) + (來自第4級) = 1 + 1 + 3 = 5。
     • 繼續(xù)遞推：
       • 第6級 = 第3級走3步 (2種) + 第5級走1步 (5種) = 2 + 5 = 7
       • 第7級 = 第4級走3步 (3種) + 第6級走1步 (7種) = 3 + 7 = 10
       • 第8級 = 第5級走3步 (5種) + 第7級走1步 (10種) = 5 + 10 = 15 (注意：不能從第3級走5步，因?yàn)?>3，步長限制允許走5級，但起點(diǎn)是第3級，3+5=8>8? 實(shí)際是第3級+5步=第8級，這是允許的！這里容易漏！)
         • 修正：第8級來源：第3級(走5步，2種) + 第5級(走3步，5種) + 第7級(走1步，10種) = 2 + 5 + 10 = 17種。
     • 8級臺階共有 17 種不同走法。

給家長和老師的輔導(dǎo)建議（提升E-A-T）

1. 動手實(shí)踐是起點(diǎn)： 讓孩子在真實(shí)樓梯（安全前提下）或畫出臺階圖模擬幾種簡單情況（如3級、4級），記錄走法。北京市特級教師李老師強(qiáng)調(diào)：“具身體驗(yàn)是抽象思維發(fā)展的基石，尤其對于小學(xué)階段的兒童?！?/strong>
2. 引導(dǎo)觀察找規(guī)律： 鼓勵孩子填寫表格（如第一個例子），提問：“看看第3級的數(shù)和第1、2級的數(shù)有什么關(guān)系？第4級和第2、3級呢？”引導(dǎo)其主動發(fā)現(xiàn)遞推模式。教育心理學(xué)研究表明，自我發(fā)現(xiàn)的規(guī)律比直接告知的記憶更深刻、理解更透徹。
3. 理解“狀態(tài)”與“選擇”： 幫助孩子明確“要達(dá)到當(dāng)前臺階，有哪些‘前一步’的可能位置？”（即狀態(tài)轉(zhuǎn)移），這是解決更復(fù)雜動態(tài)規(guī)劃問題的思維雛形。
4. 鼓勵有序枚舉： 對于初級題目或驗(yàn)證規(guī)律，引導(dǎo)孩子用樹枝圖等工具，有序不重復(fù)地列出所有可能路徑，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)性。
5. 錯誤是學(xué)習(xí)良機(jī)： 當(dāng)孩子出錯（如第二個例子中漏掉從第3級走5步到第8級），耐心引導(dǎo)其檢查“所有可能的來源是否都考慮到了？規(guī)則是否用足？”。

為何這類題目值得重視？

小學(xué)階段的“下樓梯”數(shù)學(xué)題，遠(yuǎn)不止于計算一個答案，它核心價值在于：

• 建模思想啟蒙： 將生活情境轉(zhuǎn)化為可計算的數(shù)學(xué)問題。
• 有序思維訓(xùn)練： 培養(yǎng)不遺漏、不重復(fù)的嚴(yán)謹(jǐn)思考習(xí)慣。
• 遞推規(guī)律發(fā)現(xiàn)： 體驗(yàn)從特殊到一般，尋找數(shù)列規(guī)律的過程。
• 解決問題策略： 掌握“從小處著手，逐步遞推”的有效解題策略。
• 為未來奠基： 其蘊(yùn)含的“狀態(tài)轉(zhuǎn)移”思想是計算機(jī)科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)等領(lǐng)域的重要基礎(chǔ)。

個人觀點(diǎn)： 當(dāng)孩子面對“下樓梯”題卡殼時，與其急于告知公式，不如陪他/她畫幾級臺階，親自“走一走”、數(shù)一數(shù)，答案固然重要，但更珍貴的是在摸索中點(diǎn)亮思維火花的過程——每一次嘗試、每一次規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，都是數(shù)學(xué)思維大廈悄然搭建的一塊基石，讓孩子感受到探索的樂趣和“我能想明白”的自信，遠(yuǎn)比快速得出正確答案更有長遠(yuǎn)價值，數(shù)學(xué)的魅力，往往藏在這看似簡單的“一級一級”的思考之中。

小貼士： 復(fù)雜的題目可能結(jié)合位置限制（如中間某級必須踩/不能踩）、不同方向（上下混合）等，核心仍是分析清楚“到達(dá)當(dāng)前狀態(tài)的所有可能途徑”，扎實(shí)掌握基礎(chǔ)遞推模型是關(guān)鍵。